2. 二重积分的计算方法

例题1:

计算 $\iint_D (x+y) dA$, 其中 D 是由直线 y=x, y=0 和 x=2 所围成的三角形区域。

解:

1. 确定积分顺序:先y后x
2. 确定积分限:
   • x 从 0 到 2
   • 对于每个 x, y 从 0 到 x
3. 计算: $$ \begin{align} \iint_D (x+y) dA &= \int_0^2 \int_0^x (x+y) dy dx \\ &= \int_0^2 [xy + \frac{1}{2}y^2]_0^x dx \\ &= \int_0^2 (x^2 + \frac{1}{2}x^2) dx \\ &= \int_0^2 \frac{3}{2}x^2 dx \\ &= \frac{1}{2}x^3|_0^2 \\ &= 4 \end{align} $$

例题2:

计算 $\iint_D r^2 dA$, 其中 D 是以原点为中心,半径为 2 的圆形区域。

解:

1. 在极坐标系下,积分区域更容易表示
2. 积分限:
   • θ 从 0 到 2π
   • r 从 0 到 2
3. 计算: $$ \begin{align} \iint_D r^2 dA &= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2 \cdot r dr d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} [\frac{1}{4}r^4]_0^2 d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} 4 d\theta \\ &= 8\pi \end{align} $$

例题3:

计算 $\iint_D xy dA$, 其中 D 是由抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=2x$ 所围成的区域。

解:

观察区域形状,我们可以看到:

• 如果先积y,后积x,积分限会比较复杂
• 如果先积x,后积y,积分限会更简单

因此,我们选择先x后y的顺序:

1. 确定交点: $x^2 = 2x$, 解得 x = 0 或 x = 2
2. 积分限:
   • y 从 0 到 2
   • 对于每个 y, x 从 $\sqrt{y}$ 到 $\frac{y}{2}$
3. 计算: $$ \begin{align} \iint_D xy dA &= \int_0^2 \int_{\sqrt{y}}^{\frac{y}{2}} xy dx dy \\ &= \int_0^2 [\frac{1}{2}x^2y]_{\sqrt{y}}^{\frac{y}{2}} dy \\ &= \int_0^2 (\frac{1}{8}y^3 - \frac{1}{2}y^2) dy \\ &= [\frac{1}{32}y^4 - \frac{1}{6}y^3]_0^2 \\ &= \frac{1}{3} \end{align} $$

例题4: 关于y轴对称

计算 $\iint_D x^2 dA$, 其中D是由 $x^2 + y^2 = 4$ 所围成的圆形区域。

解：

由于积分区域关于y轴对称,被积函数 $x^2$ 是偶函数,我们可以将积分范围限制在右半圆,然后将结果乘以2：

$$ \begin{align} \iint_D x^2 dA &= 2 \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4-x^2}} x^2 dy dx \\ &= 2 \int_0^2 x^2 \sqrt{4-x^2} dx \\ &= 2 \pi \end{align} $$

例题5: 可分离变量

计算 $\iint_D e^x \sin y dA$, 其中D是矩形区域 $[0,1] \times [0,\pi]$。

解：

$$ \begin{align} \iint_D e^x \sin y dA &= \int_0^1 e^x dx \int_0^\pi \sin y dy \\ &= (e - 1) \cdot 2 \\ &= 2(e - 1) \end{align} $$

例题6: 常数函数

计算 $\iint_D 5 dA$, 其中D是由 $y = x^2$ 和 $y = 2x$ 所围成的区域。

解：

首先计算区域的面积：

$$ \begin{align} A &= \int_0^2 (2x - x^2) dx \\ &= [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2 \\ &= 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \end{align} $$

然后：

$$ \iint_D 5 dA = 5 \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{3} $$

例题7: 圆形区域

计算 $\iint_D (x^2 + y^2) dA$, 其中D是单位圆 $x^2 + y^2 \leq 1$。

解：

在极坐标下, $x^2 + y^2 = r^2$, 因此：

$$ \begin{align} \iint_D (x^2 + y^2) dA &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r dr d\theta \\ &= 2\pi \int_0^1 r^3 dr \\ &= 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2} \end{align} $$

例题8: 被积函数只含y

计算 $\iint_D y^2 dA$, 其中D是由直线 y = x, y = 0 和 x = 2 所围成的三角形区域。

解：

1. 观察被积函数只包含y,我们可以先对x积分
2. 确定积分限:
   • y 从 0 到 2
   • 对于每个 y, x 从 y 到 2
3. 计算: $$ \begin{align} \iint_D y^2 dA &= \int_0^2 y^2 \int_y^2 dx dy \\ &= \int_0^2 y^2 (2-y) dy \\ &= \int_0^2 (2y^2 - y^3) dy \\ &= [\frac{2}{3}y^3 - \frac{1}{4}y^4]_0^2 \\ &= (\frac{16}{3} - 4) - 0 \\ &= \frac{4}{3} \end{align} $$

在这个例子中,我们可以看到：

• 内层积分 $\int_y^2 dx = 2-y$ 实际上是在计算给定y值时的"切片"面积。
• 外层积分则是将这些"切片"乘以 $y^2$ 后在y的范围内求和。
• 这种方法避免了直接处理复杂的二重积分,而是将问题转化为一个相对简单的单重积分。

例题9: 使用分离变量法

使用分离变量法计算 $\iint_D y^2 dA$, 其中D是由直线 y = x, y = 0 和 x = 2 所围成的三角形区域。

解：

1. 观察到被积函数只包含y，我们可以将积分拆分为两部分： $$\iint_D y^2 dA = \int_0^2 y^2 dy \cdot \int_y^2 dx$$
2. 计算 $\int_y^2 dx$: $$\int_y^2 dx = 2 - y$$ 这实际上是给定y值时的"切片"宽度。
3. 将结果代入原式: $$\iint_D y^2 dA = \int_0^2 y^2 (2-y) dy$$
4. 计算最终的单重积分: $$ \begin{align} \iint_D y^2 dA &= \int_0^2 (2y^2 - y^3) dy \\ &= [\frac{2}{3}y^3 - \frac{1}{4}y^4]_0^2 \\ &= (\frac{16}{3} - 4) - 0 \\ &= \frac{4}{3} \end{align} $$

这种方法的优点：

• 直观地将二重积分转化为面积乘以平均高度（在这个例子中是 $y^2$）
• 避免了设置复杂的积分限
• 特别适用于被积函数只依赖于一个变量的情况