前四章介绍了常见函数图形、导数、一元积分和二重积分的基本法则。 在实际做概率论题目时，验证概率之和等于 1、求分布函数、算数学期望 $E(X)$ 与方差 $D(X)$， 反复用到的计算动作集中在下面七项。把这七项练熟，绝大多数分布的推导和习题计算都能顺畅算完。
当被积函数里含有复合函数，例如 $e^{-\lambda x}$、$e^{-x^2/2}$ 或正态密度函数时， 基本积分表不能直接套用。这时引入新变量 $u = g(x)$，把复合函数的内层整个替换成一个字母，原积分就会化简成基本积分。
定积分换元公式写为
$$ \int_a^b f\bigl(g(x)\bigr) g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du $$
做定积分换元时必须同时改三处。第一，把被积函数里的 $g(x)$ 换成 $u$。 第二，把微分 $g'(x)\,dx$ 换成 $du$（或者反解出 $x = h(u)$，再把 $dx$ 换成 $h'(u)\,du$）。 第三，把原来的积分上下限 $x = a$、$x = b$ 代入 $u = g(x)$，换成新变量 $u$ 的上下限 $g(a)$ 和 $g(b)$。 换了积分限以后，直接用 $u$ 的新上下限代入原函数求值，不需要再代回 $x$。
计算下面的广义积分：
$$ \int_0^{+\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx $$
解：
指数上的内层函数是 $u = \frac{x^2}{2}$，它的微分恰好是 $du = x\,dx$，被积函数外面的 $x$ 正好用来凑微分。 当 $x = 0$ 时 $u = 0$，当 $x \to +\infty$ 时 $u \to +\infty$。
$$ \begin{align} \int_0^{+\infty} x e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx &= \int_0^{+\infty} e^{-u}\,du \\ &= \bigl[-e^{-u}\bigr]_0^{+\infty} \\ &= 0 - (-1) = 1 \end{align} $$
单独一个 $e^{-x^2/2}$ 没有初等原函数，但是乘上 $x$ 之后就可以通过 $u = \frac{x^2}{2}$ 直接积出来。 二维正态分布换成极坐标后，径向积分同样具有这一形式：
$$ \int_0^R e^{-\frac{r^2}{2}} r\,dr = 1 - e^{-\frac{R^2}{2}} $$
计算连续型随机变量的数学期望与二阶矩时，需要计算下面两个积分：
$$ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx, \qquad E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\,dx $$
密度函数 $f(x)$ 前面多乘了一个 $x$ 或 $x^2$。对于指数分布、伽马分布和正态分布，被积函数会变成「幂函数乘指数函数」， 这时要用分步积分法把幂函数的次数降下来。
定积分的分步积分公式由乘积求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 移项积分得到：
$$ \int_a^b u(x) v'(x)\,dx = \bigl[u(x) v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x)\,dx $$
写成微分记号就是
$$ \int_a^b u\,dv = \bigl[u v\bigr]_a^b - \int_a^b v\,du $$
选取 $u$ 和 $dv$ 的原则很明确。把求导后次数会降低的幂函数（例如 $x$ 或 $x^2$）选作 $u$， 把容易写出原函数的指数部分（例如 $e^{-\lambda x}\,dx$ 或 $x e^{-x^2/2}\,dx$）凑成 $dv$。 这样求导一次，$u'$ 的次数就减少 1。
概率论里的分步积分常带有无穷上限 $+\infty$。计算边界项时，需要用到一条重要极限。 只要 $\lambda > 0$，指数衰减的速度远快于任何幂函数增长的速度，因此对任意正数 $n$ 都有
$$ \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-\lambda x} = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-\frac{x^2}{2}} = 0 $$
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$（$\lambda > 0$）的指数分布，密度函数在 $x > 0$ 时为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，求 $E(X)$。
解：
按定义列出积分，取 $u = x$，把 $\lambda e^{-\lambda x}\,dx$ 凑成 $dv = d(-e^{-\lambda x})$。
$$ \begin{align} E(X) &= \int_0^{+\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x}\,dx \\ &= \int_0^{+\infty} x\,d\bigl(-e^{-\lambda x}\bigr) \\ &= \Bigl[-x e^{-\lambda x}\Bigr]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} \bigl(-e^{-\lambda x}\bigr)\,dx \\ &= (0 - 0) + \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x}\,dx \\ &= \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x}\right]_0^{+\infty} \\ &= \frac{1}{\lambda} \end{align} $$
第三行方括号里的边界项在 $x = 0$ 时显然为 0，在 $x \to +\infty$ 时因为指数衰减比 $x$ 快，极限也是 0。
设 $Z \sim N(0,1)$，求标准正态分布的二阶矩：
$$ E(Z^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx $$
解：
单独的 $e^{-x^2/2}\,dx$ 无法凑成初等函数的微分，但 $x e^{-x^2/2}\,dx = d(-e^{-x^2/2})$ 可以。 因此把 $x^2$ 拆成 $x \cdot x$，取 $u = x$，$dv = x e^{-x^2/2}\,dx = d(-e^{-x^2/2})$。
$$ \begin{align} E(Z^2) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \left(x e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x\,d\left(-e^{-\frac{x^2}{2}}\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Bigl[-x e^{-\frac{x^2}{2}}\Bigr]_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx \\ &= 0 + 1 = 1 \end{align} $$
倒数第二步里的积分正好是标准正态密度在全实轴上的积分，数值等于 1：
$$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx = 1 $$
当积分区间关于原点对称，即形如 $[-a, a]$ 或 $(-\infty, +\infty)$，并且广义积分收敛时，先看被积函数的奇偶性可以省去大量计算。
判断乘积函数的奇偶性时，规则与正负号相乘一致。奇函数乘偶函数是奇函数，两个奇函数相乘是偶函数，两个偶函数相乘仍是偶函数。 概率论里像 $e^{-x^2/2}$、$\frac{1}{1+x^2}$ 这样的对称密度函数都是偶函数，乘上 $x$ 或 $x^3$ 就变成奇函数，乘上 $x^2$ 则是偶函数。
对于离散型随机变量，积分号变成求和号。二项分布 $X \sim B(n, p)$ 的分布律是
$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n $$
二项分布的求和完全建立在二项式定理之上：
$$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k}, \qquad \text{其中 } \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$
求二项分布的期望时，求和号里面多乘了一个 $k$：
$$ E(X) = \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$
因为每一项前面的系数多了 $k$，不能直接套二项式定理。解决办法是把组合数拆成阶乘，用分子上的 $k$ 约掉分母 $k!$ 里的 $k$， 化成 $n-1$ 阶的组合数：
$$ k \binom{n}{k} = k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!\bigl((n-1)-(k-1)\bigr)!} = n \binom{n-1}{k-1} \qquad (k \ge 1) $$
同理，算方差需要求 $E\bigl[X(X-1)\bigr]$，这时分子上有 $k(k-1)$，可以连约两次，化成 $n-2$ 阶的组合数：
$$ k(k-1) \binom{n}{k} = n(n-1) \binom{n-2}{k-2} \qquad (k \ge 2) $$
设 $X \sim B(n, p)$，求 $E(X)$。
解：
写出期望定义式。当 $k = 0$ 时第一项为 0，所以求和从 $k = 1$ 开始。 用上面的组合恒等式变形，提出公因式 $np$，再令 $j = k - 1$ 换下标：
$$ \begin{align} E(X) &= \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \\ &= \sum_{k=1}^n n \binom{n-1}{k-1} p \cdot p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)} \\ &= np \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1}{j} p^j (1-p)^{(n-1)-j} \\ &= np \cdot \bigl(p + (1-p)\bigr)^{n-1} \\ &= np \end{align} $$
这套「约去 $k$、提公因式、下标平移 $j = k-1$、凑回 1」的四步法，在二项分布和泊松分布里完全通用。
几何分布和泊松分布的取值有无穷多个（$k = 0, 1, 2, \dots$），计算它们的概率和与数学期望要用到无穷级数。 概率论课程只要求掌握两条无穷级数公式。第一条是等比级数，对应几何分布。第二条是 $e^x$ 的泰勒展开，对应泊松分布。
当公比满足 $|r| < 1$ 时，无穷等比级数收敛：
$$ \sum_{k=0}^{\infty} r^k = 1 + r + r^2 + \cdots = \frac{1}{1-r}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} r^k = r + r^2 + \cdots = \frac{r}{1-r} $$
如果求和式里带有系数 $k$，只需对上面的等比级数两边关于 $r$ 求导：
$$ \sum_{k=1}^{\infty} k r^{k-1} = \frac{d}{dr}\left(\frac{1}{1-r}\right) = \frac{1}{(1-r)^2} \qquad (|r| < 1) $$
对任意实数 $\lambda$，自然指数函数 $e^{\lambda}$ 可以展开为无穷级数：
$$ e^{\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = 1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2!} + \frac{\lambda^3}{3!} + \cdots $$
只要在离散求和式里看到分母是阶乘 $k!$、分子是幂次 $\lambda^k$，就往 $e^{\lambda}$ 上凑。
设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$（$\lambda > 0$）的泊松分布，验证全概率之和为 1，并求 $E(X)$。泊松分布的分布律为
$$ P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots $$
解：
先把与下标 $k$ 无关的因子 $e^{-\lambda}$ 提到求和号外面，剩下的级数恰好是 $e^{\lambda}$ 的展开式：
$$ \sum_{k=0}^{\infty} P(X = k) = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = 1 $$
再算期望 $E(X)$。$k = 0$ 的项等于 0，从 $k = 1$ 开始求和，用分子上的 $k$ 约去分母 $k!$ 里的 $k$，得到 $(k-1)!$，再提出一个 $\lambda$：
$$ \begin{align} E(X) &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-1)!} e^{-\lambda} \\ &= \lambda e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} \end{align} $$
令 $j = k - 1$，当 $k$ 从 $1$ 取到 $\infty$ 时，$j$ 从 $0$ 取到 $\infty$：
$$ E(X) = \lambda e^{-\lambda} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!} = \lambda e^{-\lambda} \cdot e^{\lambda} = \lambda $$
任何一个合法的概率密度函数 $f(x)$ 在整个实轴上的积分都恒等于 1。 反过来，如果题目要算的积分恰好长成某个已知分布密度的形状，只缺少前面的归一化常数， 就不需要真的去换元或分步积分，把常数补齐即可直接写出结果。下面两组积分核在概率论里出现频率最高。
因为正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的密度在 $(-\infty, +\infty)$ 上积分为 1，把系数移到等号右边，立得
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,dx = \sqrt{2\pi}\,\sigma $$
特殊地，当 $\mu = 0$、$\sigma = 1$ 时，以及只积正半轴时，有
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx = \sqrt{2\pi}, \qquad \int_0^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{2}}, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^2}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \quad (a > 0) $$
计算下面的反常积分：
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}(x^2 - 4x)}\,dx $$
解：
指数上是关于 $x$ 的二次三项式，先配方得 $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$。 把常数项拆出来提到积分号外：
$$ \begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}(x^2 - 4x)}\,dx &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-2)^2 - 4}{2}}\,dx \\ &= e^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(x-2)^2}{2}}\,dx \\ &= \sqrt{2\pi}\,e^2 \end{align} $$
倒数第二步里的积分正好对应 $\mu = 2$、$\sigma = 1$ 的正态分布核，数值等于 $\sqrt{2\pi}$。
在区间 $[0, +\infty)$ 上，把例题 2 的分步积分连续做 $n$ 次，可以得到任意非负整数 $n$ 的阶乘积分公式：
$$ \int_0^{+\infty} x^n e^{-x}\,dx = n!, \qquad \int_0^{+\infty} x^n e^{-\lambda x}\,dx = \frac{n!}{\lambda^{n+1}} \quad (\lambda > 0,\; n = 0, 1, 2, \dots) $$
记住这条公式后，遇到指数分布或伽马分布求期望、方差和高阶矩，可以直接代 $n$ 的数值写出答案，不必每次重做分步积分。
除了微积分和级数本身，把所求的量先做一步代数变形再放入积分号或求和号，往往能让计算量减半。 最常用的变形有三条。
| 看到的式子特征 | 优先选用的方法 | 概率论中的典型场景 |
|---|---|---|
| 指数或函数内层是线性式 $\lambda x$、$\frac{x-\mu}{\sigma}$，或外层刚好有内层导数 $x e^{-x^2/2}$ | 换元积分法（5.1 节）：令 $u = g(x)$，同时替换被积式、微分和上下限 | 正态分布标准化、瑞利分布积分、极坐标下面积元素 $r\,dr$ 的积分 |
| 幂函数乘指数函数，例如 $x e^{-\lambda x}$、$x^2 e^{-x^2/2}$，且幂次多出一阶 | 分步积分法（5.2 节）：选幂函数作 $u$ 求导降次，指数部分凑进 $dv$ | 指数分布、伽马分布、正态分布的期望与二阶矩推导 |
| 积分区间为 $[-a, a]$ 或 $(-\infty, +\infty)$，被积函数关于原点反对称或对称 | 奇偶性（5.3 节）：奇函数得 0，偶函数折半乘 2 | 标准正态分布、对称均匀分布的期望与奇数阶中心矩 |
| 有限项求和，通项含组合数与幂次乘积 $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ | 二项式定理与组合降阶恒等式（5.4 节） | 二项分布的概率归一性验证、期望与方差推导 |
| 无穷求和，通项是公比的幂 $r^{k-1}$ 或 $k r^{k-1}$ | 等比级数 $\frac{1}{1-r}$ 及其导数 $\frac{1}{(1-r)^2}$（5.5.1 节） | 几何分布的概率求和与期望推导 |
| 无穷求和，通项分母带阶乘 $\frac{\lambda^k}{k!}$ | 泰勒级数展开式 $e^{\lambda}$（5.5.2 节） | 泊松分布的概率归一性、期望与方差推导 |
| 全实轴上的高斯函数，或正半轴上的 $x^n e^{-\lambda x}$ | 常见积分核（5.6 节）：直接套 $\sqrt{2\pi}\sigma$ 或 $\frac{n!}{\lambda^{n+1}}$ | 快速写出正态、指数、伽马分布的各阶矩与常数系数 |