概率论的结论大多可以在图上表示出来。密度曲线下方的面积是概率，分布函数从左下升到右上， 期望落在曲线的重心位置，方差对应曲线的宽窄。后面两章用到的函数也集中在下面几类， 例如 \( x^2 \)、\( e^x \)、\( \ln x \)、\( \sin x \)。
本章的目标有两条。第一条是看到表达式能够画出大致的形状，第二条是看到图形能够判断它属于哪类函数。页面中的图都可以拖动滑块，参数改变后形状随即改变，比静态图更容易辨认差别。
观察一张图时，需要依次确认以下几个方面。
后面的每一节都按这六项检查。
最简单的两条曲线是水平线与斜直线，均匀分布的密度函数与分布函数分别属于这两种形状。
常函数 \( y = c \) 的图像是一条水平线。均匀分布 \( U(a, b) \) 的密度函数在区间 \( [a, b] \) 上 恒等于 \( \frac{1}{b-a} \)，因此图像是一个矩形。区间越宽，矩形的高度越低，矩形的面积始终等于 1。
一次函数 \( y = kx + b \) 的图像是斜直线，\( k \) 是斜率，即函数的变化率。均匀分布的分布函数在区间内是一段斜直线，从 0 升到 1，斜率等于密度函数的高度 \( \frac{1}{b-a} \)。
均匀分布是概率论中最简单的连续分布，它的密度是常函数，分布函数是斜直线。后面遇到形状复杂的分布时，都可以与它作对比。
概率论中许多对称分布的形状与二次函数相似，幂函数则用来说明形状随参数如何变化。
二次函数 \( y = ax^2 \) 的图像是抛物线。\( a > 0 \) 时开口向上，\( a < 0 \) 时开口向下， 顶点都在原点，图形关于纵轴对称。正态密度函数同样中间高、两侧对称下降，只是下降的方式不同。
幂函数 \( y = x^n \) 的形状按 \( n \) 分成三类。\( n > 1 \) 时曲线在原点附近上升很慢， 之后越来越快，\( x^2 \) 属于这一类。\( 0 < n < 1 \) 时情况相反，开始上升快，之后越来越慢， \( \sqrt{x} \) 属于这一类。\( n < 0 \) 时曲线在整个 \( x > 0 \) 上递减，不断靠近横轴， \( \frac{1}{x} \) 属于这一类。
幂函数与它的反函数关于直线 \( y = x \) 对称。\( x^2 \) 与 \( \sqrt{x} \) 互为反函数， 图像上的点 \( (a, a^2) \) 对应点 \( (a^2, a) \)，两个坐标交换了位置。
定义域上有两处容易出错的地方。\( \sqrt{x} \) 只在 \( x \ge 0 \) 上有定义，横轴负半轴上没有曲线。 \( \frac{1}{x} \) 在 \( x = 0 \) 处没有定义，图像分为左右两支，\( x = 0 \) 是一条竖直渐近线。
绝对值函数 \( y = |x| \) 的图像是一个 V 形，顶点在原点。它在 \( x = 0 \) 处有一个尖角， 导数在该点不存在。第 2 章讨论可导性时会再次用到这一性质。
指数函数描述增长与衰减，指数分布的密度函数正是一条衰减的指数曲线，因此本节与概率论的联系较为密切。
\( y = a^x \) 在 \( a > 1 \) 时递增，在 \( 0 < a < 1 \) 时递减。两条曲线都经过点 \( (0, 1) \)， 因为任何正数的零次方都等于 1。横坐标趋向负无穷时曲线贴近横轴，横轴是水平渐近线，曲线不与它相交，也不会落到横轴的下方。
底数 \( e \approx 2.718 \) 最为常用，因为 \( e^x \) 的导数仍然是 \( e^x \)。第 2 章的导数公式表会直接用到这一性质。
指数分布的密度是 \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \)，其中 \( x \ge 0 \)。 它在 \( x = 0 \) 处的高度等于 \( \lambda \)，随后随 \( x \) 增大而快速下降。 \( \lambda \) 越大下降越快，概率越集中在小值附近。
对数函数是指数函数的反函数，它的增长速度很慢，常用于处理跨度很大的数据。
\( y = \log_a x \) 只在 \( x > 0 \) 上有定义，经过点 \( (1, 0) \)，因为 \( \log_a 1 = 0 \)。 横坐标接近 0 时函数值趋向负无穷，纵轴是竖直渐近线。将对数曲线与指数曲线画在同一坐标系中，它们关于直线 \( y = x \) 对称。
增长速度慢是它的主要用途。对跨度很大的数取对数以后，可以压缩到同一个数量级，概率论中的对数变换与对数似然都建立在这一性质上。
对数正态分布是这一性质的一个直接结果。如果 \( X \) 的对数服从正态分布，那么 \( X \) 服从对数正态分布。 它的密度函数右侧有一条长尾，最高点偏向左边。\( \sigma \) 越大，尾部越长，最高点越低。
三角函数描述周期变化，它的图像来自单位圆上一点绕圆周运动时纵坐标的变化。
首先说明角度的单位。数学中使用弧度制，整个圆周对应 \( 2\pi \) 弧度，半个圆周对应 \( \pi \) 弧度。因此 \( \frac{\pi}{2} \) 是直角。
从 \( (1, 0) \) 出发沿单位圆逆时针转 \( \theta \) 弧度，所得点的坐标是 \( (\cos\theta, \sin\theta) \)。 以 \( \theta \) 为横坐标、该点的纵坐标为纵坐标作图，就得到正弦曲线。转过一整圈，正弦正好走完一个周期。
\( y = \sin x \) 与 \( y = \cos x \) 都以 \( 2\pi \) 为周期，振幅为 1，值域是 \( [-1, 1] \)。 \( \cos x \) 的图像是 \( \sin x \) 向左平移 \( \frac{\pi}{2} \)，因为 \( \cos\theta = \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \)。
更一般的形式是 \( y = A\sin(\omega x + \varphi) \)。\( A \) 决定振幅，\( \omega \) 决定周期， 周期等于 \( \frac{2\pi}{\omega} \)，\( \varphi \) 决定左右平移的量。三个参数都可以在图中拖动查看。
\( y = \tan x \) 由 \( \sin x \) 除以 \( \cos x \) 得到，周期是 \( \pi \)，不是 \( 2\pi \)。 在 \( \cos x = 0 \) 的位置，也就是 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)（\( k \) 为整数），它没有定义， 曲线在该处趋向正无穷或负无穷。图像被竖直渐近线分成若干段，每一段的值域都是全体实数。
三角函数在概率论中出现的次数不多，后面讲特征函数时才会把分布与 \( \sin \)、\( \cos \) 联系起来。
反三角函数把比值还原为角度。求分布函数在某些点上的值时，经常需要解 \( \sin x \) 等于某个数这类方程，用到的就是它们。
三角函数是周期函数，一个函数值对应无穷多个角度，因此不能直接求反函数。常用的办法是限制定义域，只保留一段单调区间，在这段区间上取反函数。
\( \arcsin x \) 的定义域是 \( [-1, 1] \)，值域是 \( [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \)。 \( \arccos x \) 的定义域也是 \( [-1, 1] \)，值域是 \( [0, \pi] \)。 \( \arctan x \) 的定义域是全体实数，值域是 \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)，图像有两条水平渐近线。
定义域是 \( [-1, 1] \)，这一点与概率论直接相关。 正弦和余弦的取值本来就在 \( [-1, 1] \) 内，因此 \( \arcsin \) 与 \( \arccos \) 只在这个范围内才有输入。
柯西分布的分布函数是 \( F(x) = \frac{1}{2} + \frac{\arctan x}{\pi} \)。 \( \arctan \) 的值域有界，这条曲线在两侧上升极慢，尾部又长又厚，柯西分布的期望因此不存在。
把一张图形整体平移或者伸缩，可以得到同类函数的其他图形。正态分布的参数 \( \mu \) 与 \( \sigma \) 就是这种平移与伸缩。
在函数上加一个常数或者乘一个常数，图像会有四种变化。加常数 \( c \) 是上下平移，\( f(x) + c \) 把曲线向上平移 \( c \)。 括号内减常数 \( a \) 是左右平移，\( f(x-a) \) 把曲线向右平移 \( a \)，注意符号与直觉相反。 乘以 \( k \) 是纵向伸缩，\( k > 1 \) 时曲线变高，\( 0 < k < 1 \) 时曲线变矮。 括号内乘 \( b \) 是横向伸缩，\( b > 1 \) 时曲线变窄。加上负号是翻转，\( -f(x) \) 上下翻转，\( f(-x) \) 左右翻转。
标准正态密度经过一次平移和一次伸缩，就得到任意正态密度。 标准正态密度的图像关于纵轴对称，最高点在 \( x = 0 \)。平移把最高点移到 \( \mu \)，再按 \( \sigma \) 作横向伸缩，同时纵向乘以 \( \frac{1}{\sigma} \)，使总面积仍然等于 1。
写成式子就是 \( \varphi(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma}\varphi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \)。 把随机变量标准化为 \( Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \)，是把同一个操作应用于数据，先减去 \( \mu \) 作平移，再除以 \( \sigma \) 作压缩或者拉伸。
一元函数 \( y = f(x) \) 的图像是一条曲线。二元函数 \( z = f(x, y) \) 有两个自变量， 图像是三维空间中的一张曲面。曲面在 \( xy \) 平面上的投影就是定义域，曲面上一点的高度等于函数值。
连续型随机向量 \( (X, Y) \) 的联合密度函数 \( f(x, y) \) 就是一个二元函数。 它在点 \( (x, y) \) 处的高度表示该点附近的概率密度。 一元情形下，密度曲线与横轴之间的面积是概率；二元情形下，密度曲面与 \( xy \) 平面之间的体积是概率。
设 \( G \) 是 \( xy \) 平面上的一个区域。以 \( G \) 为底、以曲面 \( z = f(x, y) \) 为顶、 侧面由经过 \( G \) 的边界且平行于 \( z \) 轴的直线围成的立体，称为曲顶柱体。它的体积等于二重积分
$$ V = \iint_G f(x, y)\,dx\,dy = P\bigl((X, Y) \in G\bigr) $$
所以随机向量落在区域 \( G \) 内的概率，等于以 \( G \) 为底的曲顶柱体的体积。 整个平面上的体积等于 1，与一元情形下总面积为 1 对应。 计算这个体积要用二重积分，也就是把二重积分化成两次一元积分。
区域 \( G \) 不限于矩形，可以是任意有界区域，例如椭圆，或者边界不规则的区域。 柱体的侧面始终沿着 \( G \) 的边界立起来，二重积分的算法不变。 图 15 的下拉框可以切换这三种形状。
下表汇总了前面出现的函数。看到表达式时，可以先在表中找到对应的一行，再回忆它的图形。
| 函数 | 形状 | 定义域 | 关键点 | 渐近线 | 概率论里的位置 |
|---|---|---|---|---|---|
| \( y = c \) | 水平线 | 全体实数 | 高度等于 c | 无 | 均匀分布的密度 |
| \( y = kx + b \) | 斜直线 | 全体实数 | 斜率 k，纵截距 b | 无 | 均匀分布的分布函数 |
| \( y = ax^2 \) | 抛物线 | 全体实数 | 顶点在原点，a 决定开口方向 | 无 | 对称分布的形状 |
| \( y = x^n \) | n > 1 加速上升，0 < n < 1 减速上升，n < 0 递减 | n < 0 时 x ≠ 0，根式要求 x ≥ 0 | 都过点 (1, 1) | n < 0 时有两条 | 分布形状的参数化 |
| \( y = a^x \) | a > 1 递增，0 < a < 1 递减 | 全体实数 | 过点 (0, 1) | y = 0 | 指数分布的密度 |
| \( y = \log_a x \) | 上升很慢 | x > 0 | 过点 (1, 0) | x = 0 | 对数正态分布，对数似然 |
| \( \sin x \)、\( \cos x \) | 周期波 | 全体实数 | 周期 2π，值域 [-1, 1] | 无 | 特征函数 |
| \( \tan x \) | 周期分支 | x ≠ π/2 + kπ | 周期 π，值域为全体实数 | x = π/2 + kπ | 较少直接出现 |
| \( \arcsin x \)、\( \arccos x \) | 一段上升和一段下降 | [-1, 1] | 值域有限 | 无 | 反解三角函数 |
| \( \arctan x \) | 一段上升 | 全体实数 | 值域 (-π/2, π/2) | y = ±π/2 | 柯西分布的分布函数 |
| 正态密度 | 钟形 | 全体实数 | 最高点在 x = μ | y = 0 | 正态分布 |
下一章：导数与微分。