# 以下都是例行公事，直接拷贝即可
import pandas as pd
import numpy as np
# 导入matplotlib.pyplot绘图库，其中plt.plot()是最常用的绘图函数之一
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set_theme() # 默认用seaborn的绘图样式
plt.rcParams["font.sans-serif"]=["Microsoft YaHei"] #设置字体。如果不设置，中文会乱码。这里采用微软雅黑'Microsoft YaHei'，如果显示不正常，也可以使用黑体'SimHei'或者宋体'SimSun'等
plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=False #该语句解决图像中的“-”负号的乱码问题
# 绘图使用'svg'后端：svg是矢量格式，可以任意缩放均保持清晰，各种屏幕的显示良好。
%config InlineBackend.figure_formats = ['svg']27 投资组合理论
27.1 快速复习
这里快速复习一下Markowitz资产组合模型，详情可见大部分投资学教材（如博迪的《投资学》）的相关章节。
27.1.1 2种资产的组合
考虑2种资产的组合，期望收益分别是\(r_1,r_2\)，各自的方差分别是\(\sigma_1^2, \sigma_2^2\)。投资的权重是\(w_1, w_2\)，其中\(w_1+ w_2 = 1\)。
那么组合期望收益就是：（简便起见这里就不写成期望形式了）
\[ r_p = w_1 r_1 + w_2 r_2 \]
组合的方差就是：
\[ \sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w _2 \operatorname{Cov}(r_1,r_2) \]
一个随机变量的方差，就是它自己和自己的协方差，因此上式又可以写成：
\[ \sigma_p^2 = w_1^2 \operatorname{Cov}(r_1,r_1)+ w_2^2 \operatorname{Cov}(r_2,r_2) + 2 w_1 w _2 \operatorname{Cov}(r_1,r_2) \]
上面的式子可以用协方差矩阵的形式来表示：
| 协方差矩阵 | \(w_1\) | \(w_2\) |
|---|---|---|
| \(w_1\) | \(\operatorname{Cov}(r_1,r_1)\) | \(\operatorname{Cov}(r_1,r_2)\) |
| \(w_2\) | \(\operatorname{Cov}(r_2,r_1)\) | \(\operatorname{Cov}(r_2,r_2)\) |
可见，组合的方差，就等于上面的矩阵中的每一个协方差，乘以对应的权重，再相加。
直接从上式可以得到结论：
- 如果2种资产是负相关，那么他们的协方差就是负数（看最后一项），组合的方差必然下降。
- 如果2种资产是正相关，但相关系数小于1，组合的标准差依然会低于2项资产的标准差的加权平均。
注意到，收益和方差计算中，唯一的变量是权重，那么我们可以把每一个权重，对应的收益和标准差计算出来，绘制在一张图上。
- 选择第1个权重，如(0,1)，计算代入2个公式，计算\(r_{p1},\sigma_{p1}\)
- 选择第2个权重，如(0.1,0.9)，计算代入2个公式，计算\(r_{p2},\sigma_{p2}\)
- 选择第3个权重，如(0.2,0.8)，计算代入2个公式，计算\(r_{p3},\sigma_{p3}\)
- …
把上述收益和标准差的组合绘制出来，你会得到下图中一组曲线的其中一条，称为“投资组合可行集”。
横轴是标准差，纵轴是收益。（图来自博迪《投资学》11版）
如果2种资产的相关性：
- 等于1，则组合的标准差是2者标准差的线性组合。
- 小于1，则组合会有一个最小方差点（最小标准差点）：在这个组合下你可以获得最小方差。（两天蓝色线）
- 等于-1，则某个组合可以让最小方差为0。
27.1.2 资产配置
引入无风险资产，比如国债等等。考虑无风险资产和风险资产的组合。因为无风险资产和组合之间的协方差为0，那么无风险资产和风险资产的组合的期望收益和方差的关系，就是一条直线。
称为：“资本配置线（CAL）”：
- 如果全部投资于无风险资产，那么你获得了无风险收益率，同时组合方差为0：射线的最左端。
- 随着你增加风险资产的比例，那么方差也等比增加：因此是一条射线。
- 风险资产组合有无限种（权重的不同），反映为蓝色曲线（投资组合可行集）上的每一个点。那么纳入无风险资产，就是从\(r_f\)点，引出一条射线，穿过蓝线上的某个点。
- 射线斜率就是夏普比率：衡量每单位风险，能够获得多少超额收益。
- 所以穿过哪个点是最优的？斜率最高那条，即切线，则切点为“最优风险组合”。
\[ S_p=\frac{\mathrm{E}\left(r_p\right)-r_f}{\sigma_p} \]
27.1.3 马科维茨资产组合选择模型
把2种资产的情况扩展到n种，那么上面的2资产公式可以推为：
组合的期望收益：
\[ r_p = \sum_{i=1}^n {w_i r_i} \]
组合的方差：
\[ \sigma_p^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n w_i w_j \operatorname{Cov}(r_i,r_j) \]
可以想象把前面的矩阵扩展到n行n列。
令\(w\)为权重，\(\Sigma\)为协方差矩阵，上面的式子可以写成矩阵：
\[ \sigma_p^2 = w^t \Sigma w \]
（w的转置，乘以协方差矩阵，乘以w）
我们要做的，就是用蒙特卡洛模拟的方法（近似可以理解为穷举法），尝试极大量的组合，计算他们的收益和标准差，绘制在图上，最后计算出最佳的组合权重。
蛮力计算正是电脑擅长的。
27.2 组合的预期收益和方差
使用数据returns.xlsx，里面包含了3只股票的日回报率数据。
注：为什么要用日回报率数据？因为日回报率不用考虑分红、拆分或者复权之类的因素。当然，你用复权价格数据反算也是一样的。
# 读取数据并查看
df = pd.read_excel('data/returns.xlsx',converters={'日期':pd.to_datetime})
df.set_index('日期',inplace=True)
df.head() | 比亚迪 | 美的集团 | 平安银行 | |
|---|---|---|---|
| 日期 | |||
| 2019-01-02 | -0.035882 | -0.011394 | -0.020256 |
| 2019-01-03 | -0.022575 | -0.006586 | 0.009793 |
| 2019-01-04 | 0.053891 | 0.021823 | 0.050647 |
| 2019-01-07 | 0.014610 | 0.000000 | -0.001026 |
| 2019-01-08 | 0.028994 | -0.003514 | -0.008214 |
收益率等于 \[ r_1 = x_1/x_0 - 1 \]
对数收益率等于 \[ lr_1 = \ln {x_1/x_0} = \ln(r_1 + 1) \]
从对数收益率算收益率 \[ r_1 = e^{lr_1} - 1 \]
为什么要用对数收益率？因为对数收益率具有可加性：第1期期初，一直持有到第2期期末，持有2期的对数收益率，正好是2期各自对数收益率的直接相加。
\[ lr_{12} = lr_1 + lr_2 \]
- 要算一段时间的收益率，只要从第一个交易的对数收益率，一直累加，加到最后一个交易日的对数收益率，就是这段时间的对数收益率。
- 要算年化收益率，求整个序列的日平对数收益率，再乘以一年的交易日250即可。
从收益率计算对数收益率
rets = np.log(df + 1)
rets.head()| 比亚迪 | 美的集团 | 平安银行 | |
|---|---|---|---|
| 日期 | |||
| 2019-01-02 | -0.036542 | -0.011459 | -0.020464 |
| 2019-01-03 | -0.022834 | -0.006608 | 0.009745 |
| 2019-01-04 | 0.052489 | 0.021588 | 0.049406 |
| 2019-01-07 | 0.014504 | 0.000000 | -0.001027 |
| 2019-01-08 | 0.028582 | -0.003520 | -0.008248 |
投资1元的曲线
(df+1).cumprod().plot();
rets.mean()*250 # 对数收益率的可加性，求“均值 * 一年的交易日数”，就是年化（对数）收益率比亚迪 0.688826
美的集团 0.531378
平安银行 0.385595
dtype: float64rets.cov() * 250 # 年化协方差矩阵| 比亚迪 | 美的集团 | 平安银行 | |
|---|---|---|---|
| 比亚迪 | 0.226201 | 0.054389 | 0.046846 |
| 美的集团 | 0.054389 | 0.098938 | 0.051926 |
| 平安银行 | 0.046846 | 0.051926 | 0.108442 |
27.2.1 给定权重的情况
首先，随机生成3个权重
# 证券数量 number of assets
noa = rets.shape[1]
noa3weights = np.random.random(noa) # 生成3个随机数
weights /= np.sum(weights) # 使3个随机数的和为1
weightsarray([0.56598201, 0.22864297, 0.20537502])weights.sum()1.0计算组合的方差
\[ \sigma_p^2 = w^t \Sigma w \]
np.dot(weights.T, np.dot(rets.cov() * 250 , weights)) # 矩阵乘法满足结合律0.11205046659344259显然标准差就是方差开根号
np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(rets.cov() * 250, weights))) 0.33473940101733257写2个函数，计算在特定的权重下，股票的收益率和方差。
rets：对数回报率的序列 rets.mean()：日均对数收益率 rets.mean() * weights ：乘以权重后的日均对数收益率
rets.mean() * weights比亚迪 0.001559
美的集团 0.000486
平安银行 0.000317
dtype: float64def port_ret(weights):
"""年化对数收益率
"""
return np.sum(rets.mean() * weights) * 250
def port_vol(weights):
"""年化收益率的标准差
"""
return np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(rets.cov() * 250 , weights))) 循环N次，每次随机生成一组权重，然后计算年化收益率和年化标准差。我们就可以获得N组（收益率, 标准差，权重）的组合。
prets = [] # 收益率
pvols = [] # 标准差
w = []
for p in range (5000): # 重复5000次
weights = np.random.random(noa)
weights /= np.sum(weights) # 每次重复，都随机取得3个权重。
w.append(weights)
prets.append(port_ret(weights)) # 计算组合收益
pvols.append(port_vol(weights)) # 计算组合标准差
prets = np.array(prets)
pvols= np.array(pvols) 27.2.2 最小方差点
i = (np.where(pvols == min(pvols)))[0][0]
w[i].round(3) # 权重array([0.131, 0.469, 0.4 ])绘图
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.scatter(pvols, prets, c=prets / pvols,
marker='o', cmap='coolwarm',s = 5,alpha=0.5)
plt.colorbar(label='Sharpe ratio(rf=0)'); #
plt.scatter(pvols[i],prets[i],c='k',s = 50,marker='x') # 最小方差点
plt.xlabel('SD')
plt.ylabel('预期收益率') ;
27.3 风险资产的有效边界
前面我们绘制了预期收益和标准差之间从关系，显然给定收益，正常人都会选择风险最小的组合，即风险资产的最小方差边界，就是上图中全部点所在区域的左侧边界。
在最小方差边界中，最小方差点之上的部分，称为风险资产有效边界。在这条线上点，表示给定收益的最小风险，或者给定风险的最大收益。
显然，我们实际会选择的组合必然在条线上。
27.3.1 最小标准差组合
我们的做法是给定一个收益率，比如0.55，然后求标准差最低的组合。
import scipy.optimize as scotret = 0.55 # 目标收益率
bnds = tuple((0, 1) for x in weights) # 3个权重的区间都是0到1
cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: port_ret(x) - tret},
{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x) - 1})
eweights = np.array(noa * [1. / noa, ])
res = sco.minimize(port_vol, eweights, method='SLSQP',
bounds=bnds, constraints=cons)给定tret = 0.55，最小的标准差是
res.fun0.28551471742741286对应的权重是
res.xarray([0.27144962, 0.56311774, 0.16543264])def find_min_sd(tret):
'''对于指定的收益率tret，找到最小标准差的组合，并返回标准差'''
bnds = tuple((0, 1) for x in weights) # 3个权重的区间都是0到1
cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: port_ret(x) - tret},
{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x) - 1})
eweights = np.array(noa * [1. / noa, ])
res = sco.minimize(port_vol, eweights, method='SLSQP',
bounds=bnds, constraints=cons)
return res.fun
find_min_sd(0.55)0.2855147174274128627.3.2 计算有效边界
对于0.45到0.68之间的收益率，切成50段，对其中每一个收益率，都计算小标准差组合。
trets = np.linspace(0.45, 0.68, 50)
tvols = np.array([find_min_sd(tret) for tret in trets])i = np.where(tvols == min(tvols))[0][0]plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.scatter(pvols, prets, c=prets / pvols,
marker='o', cmap='coolwarm',s = 5,alpha=0.5)
plt.colorbar(label='Sharpe ratio(rf=0)'); #
plt.plot(tvols[i:],trets[i:],c='blue',lw=3)
#plt.scatter(tvols[i], trets[i], c='k',s = 50,marker='x')
plt.xlabel('SD')
plt.ylabel('预期收益率') ;
27.4 资本市场线
把无风险资产加入组合
令资本市场线 为 $ y = a + b x\(，有效边界为\)y=f(x)$，有几个条件：
- 截距=无风险利率
- 资本市场线和有效边界在\(x\)处相交
- 资本市场线和有效边界在\(x\)处斜率相等
令有有效边界为\(f(x)\)，资本市场线会与有效边界相切，那么在切点\(x\)上，两者的一阶倒数相等。
\[ b = f'(x) \]
问题在于，有效边界是我们用模拟方法（大量的取点）计算出来的，有效边界的数据本质上以一系列的点，如何获得有效边界的一阶导数？
splrep()函数：可以对给定的x序列和y序列，拟合一条样条曲线。splev()函数：利用上一步获得的曲线，可以对x求函数值或者一阶导函数的值。
import scipy.interpolate as sci
ind = np.argmin(tvols)
evols = tvols[ind:] # 有效边界的横轴（标准差）
erets = trets[ind:] # 有效边界的纵轴（收益率）
# 获得有效边界的样条曲线
tck = sci.splrep(evols, erets)
def f(x):
''' 有效边界函数 (样条曲线逼近). '''
return sci.splev(x, tck, der=0)
def df(x):
''' 样条曲线函数的一阶导函数 '''
return sci.splev(x, tck, der=1)对于任何一个\(x\)，我们都可以获得有效边界的值\(f(x)\)，以及一阶导数\(f'(x)\)
x = 0.325
print(f'{f(x)=}, {df(x)=}')f(x)=array(0.60642485), df(x)=array(0.87363672)我们令 \(p = \{a,b,x\}\)，分别表示资本市场线的截距、斜率、以及切点的横坐标。
资本市场线的三个条件，可以写成方程组：
- 截距=无风险利率， \(a = r_f\) ：
a = rf - 资本市场线和有效边界在\(x\)处相交，\(f(x) = a + b*x\)：
f(x) = a + b * x - 资本市场线和有效边界在\(x\)处斜率相等，\(b = f'(x)\)：
b = df(x)
用fsolve()函数可以解这个方程，参数分别是：
- 方程组。
- 初始参数：这是你对解的合理的猜测。如果猜得太远，就无法给出正确的解。
我们猜测，无风险利率给定为0.05，切点大概在0.3附近，斜率猜测是1左右（45°），那么我们对p的猜测就是[0.05, 0.5, 0.3]。
# 资本市场线的方程组
def equations(p, rf=0.05):
a,b,x = p
eq1 = rf - a
eq2 = a + b * x - f(x)
eq3 = b - df(x)
return eq1, eq2, eq3
# 求解方程组
opt = sco.fsolve(equations, [0.05, 0.5, 0.3])看看求解的结果：
opt # 分别是rf = a, b, x 。其中x是切点所在的SD。array([0.05 , 1.75627377, 0.29341009])把求解的结果代入方程组，看看是不是所有方程都为0。
np.round(equations(opt), 4)array([0., 0., 0.])绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))
# 散点
plt.scatter(pvols, prets, c=(prets - 0.05) / pvols,
marker='.', cmap='coolwarm')
# 有效边界
plt.plot(evols, erets, 'b', lw=4.0)
# 资本市场线
cx = np.linspace(0.0, 0.4)
plt.plot(cx, opt[0] + opt[1] * cx, 'r', lw=1.5)
# 切点
plt.plot(opt[2], f(opt[2]), 'y*', markersize=15.0)
plt.xlabel('SD')
plt.ylabel('预期收益率')
plt.colorbar(label='Sharpe ratio')
plt.xlim((0.25,0.5)) # 绘图的范围，可以自行调整
plt.ylim((0.35,0.7));
27.4.1 从切点反求组合
注意到，opt[2]就是切点的横坐标（SD），那么f(opt[2])就是切点的纵坐标（预期收益率）
按照我们前面求有效边界的方法：指定预期收益率，求最小化波动率的组合，代码基本一样。
cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: port_ret(x) - f(opt[2])}, # 指定的预期收益率
{'type': 'eq', 'fun': lambda x: np.sum(x) - 1})
res = sco.minimize(port_vol, eweights, method='SLSQP',
bounds=bnds, constraints=cons)
res['x'].round(2)array([0.31, 0.59, 0.1 ])因此，切点组合就是：31%的比亚迪，59%的美的集团，10%的平安银行。进一步，你可以在无风险资产(\(r_f = 0.05\))和切点组合之间进行选择你希望的比例，构成最终组合。