31 因子模型
31.1 开篇：因子模型解决什么问题、对谁有用
在实务里，因子模型首先用于业绩归因：把一只股票、一个组合或一只基金在某一段时间的超额收益，分解成几部分——一部分来自广泛而稳定地影响许多资产的共同影响因素（如“大盘整体涨跌”“小盘风格相对大盘”“价值相对成长”等），另一部分是该资产或该管理人特有的成分（策略选择、择时或纯噪声）。
这样做的目的至少有三类：
- 解释：回答“收益从哪里来”。例如，基金近期表现是否主要因为大盘走强，还是因为明显的价值（或小盘）倾向。
- 评价：区分“因子带来的正常回报”和“剥离因子后仍剩下的平均额外收益”（常记为 \(\alpha\)），从而更公平地评价管理能力。
- 管理：根据对因子“敏感度/斜率”的估计，控制或配置风格暴露，进行风险预算与再平衡（例如降低对单一风格的过度依赖）。
31.1.1 因子模型的基本思想
在一段时间尺度上，资产的期望收益可以写成“无风险利率 + 若干共同影响因素的线性组合 + 个体特有部分”。线性表达为：
\[ E[R_i] = R_f + \beta_{i1}\lambda_1 + \beta_{i2}\lambda_2 + \cdots + \beta_{ik}\lambda_k. \]
这里，\(\beta_{ij}\) 可以理解为斜率/敏感度：当第 \(j\) 个因素的回报上升 \(1\) 个单位时，资产 \(i\) 的回报平均会随之变化多少；\(\lambda_j\) 是该因素在样本期内对应的平均“回报补偿”。实际估计时，常用时间序列回归得到各 \(\beta\)，再用样本均值近似各因素的溢价。
31.1.2 CAPM：以“大盘敏感度”解释超额收益
思想：如果把整个市场看作一只尽可能分散、按市值加权的“超大指数”，那么一只资产的超额收益，主要由它随大盘一起涨跌的幅度（斜率 \(\beta\)）决定。
回归形式：
\[ R_{i,t}-R_{f,t} = \alpha_i + \beta_{i,M}(R_{M,t}-R_{f,t}) + \varepsilon_{i,t}. \]
- \(\beta_{i,M}\)：对“大盘超额收益”的斜率/敏感度；可读作“大盘每变动 \(1\%\)，该资产平均变动 \(\beta\%\)”。
- \(\alpha_i\)：在控制了大盘影响后仍然存在的平均额外收益；若 CAPM 完全成立，应接近 \(0\)。
- 估计中通常使用月度总回报（含分红再投），并用 Newey–West 标准误修正自相关与异方差。
31.1.3 FF3：引入“规模”与“价值”
思想：在市场因子之外，广泛数据中反复出现两种风格差异：小盘相对大盘、价值相对成长。把它们做成可交易的多空组合时间序列，纳入解释框架。
回归形式：
\[ R_{i,t}-R_{f,t} = \alpha_i + \beta_{i,M}(MKT_t - RF_t) + \beta_{i,SMB}SMB_t + \beta_{i,HML}HML_t + \varepsilon_{i,t}. \]
- \(MKT_t - RF_t=R_{M,t}-R_{f,t}\)：市场超额收益。
- \(SMB_t\)（Small Minus Big）：小盘 − 大盘 的多空组合当期回报；\(\beta_{i,SMB}\) 是对“小盘相对大盘”这一差额的斜率。
- \(HML_t\)（High Minus Low）：高账面市值比 − 低账面市值比 的多空组合回报；\(\beta_{i,HML}\) 是对“价值相对成长”差额的斜率。
- 直观解读：若 \(\beta_{i,SMB}>0\)，该资产更像“小盘风格”；若 \(\beta_{i,HML}<0\)，该资产更偏“成长风格”。
31.1.4 FF5：再加入“盈利能力”与“投资”两个维度
思想：许多样本提示，高盈利公司往往有更高回报，而低投资（更保守地扩张资产）的公司在风险调整后回报更高。于是，在 FF3 的基础上加入两个因子。
回归形式：
\[ R_{i,t}-R_{f,t} = \alpha_i + \beta_{i,M}(MKT_t - RF_t) + \beta_{i,SMB}SMB_t + \beta_{i,HML}HML_t + \beta_{i,RMW}RMW_t + \beta_{i,CMA}CMA_t + \varepsilon_{i,t}. \]
- \(RMW_t\)（Robust Minus Weak）：高盈利 − 低盈利 的多空组合回报；\(\beta_{i,RMW}\) 是对“盈利维度差额”的斜率。
- \(CMA_t\)（Conservative Minus Aggressive）：低投资 − 高投资 的多空组合回报；\(\beta_{i,CMA}\) 是对“投资维度差额”的斜率。
- 注意：在 FF5 中，\(SMB\) 的官方口径改为把三套分组（规模×价值、规模×盈利、规模×投资）得到的三个“小盘减大盘”序列取平均，以避免将规模与单一特征的耦合。
31.1.5 估计与解读
为便于对比与评分，建议采用如下统一做法：
- 频率与口径：使用月度总回报（含分红再投），所有序列按月末对齐；无风险利率与之同频。
- 回归：以 OLS 估计各模型（CAPM、FF3、FF5），并使用固定滞后的 Newey–West 标准误（如滞后 \(3\)）。
- 报告与图表：
- 报告 \(\alpha\)、各 \(\beta\) 与 \(R^2\)；比较 CAPM 与 FF3/FF5 的 \(R^2\) 是否上升、\(\alpha\) 是否下降。
- 绘制 \(\beta\) 的条形对比图或滚动窗口折线，以观察风格暴露是否随时间漂移。
- 报告 \(\alpha\)、各 \(\beta\) 与 \(R^2\)；比较 CAPM 与 FF3/FF5 的 \(R^2\) 是否上升、\(\alpha\) 是否下降。
- 解读：
- 若加入风格因子后 \(R^2\) 明显提升、\(\alpha\) 明显接近 \(0\)，说明该资产的收益主要来自若干共同影响因素，而不是独立于这些因素的“额外回报”。
- 残差并不自动等同于“真正的阿尔法”；它也可能来自未纳入的风险因素、样本噪声或口径差异。
- 若加入风格因子后 \(R^2\) 明显提升、\(\alpha\) 明显接近 \(0\)，说明该资产的收益主要来自若干共同影响因素，而不是独立于这些因素的“额外回报”。
31.1.6 变量与符号速查
- \(R_{i,t}\)：资产 \(i\) 在 \(t\) 期的收益（建议用月度总回报）。
- \(R_{f,t}\)：无风险利率（同频）。
- \(R_{M,t}\)：按市值加权的“宽基市场”收益。
- \(MKT_t - RF_t=R_{M,t}-R_{f,t}\)：市场超额收益。
- \(SMB_t\)：小盘 − 大盘 的多空组合回报（FF3：源自“规模×价值”的分组；FF5：三套分组平均）。
- \(HML_t\)：高账面市值比 − 低账面市值比 的多空组合回报。
- \(RMW_t\)：高盈利 − 低盈利 的多空组合回报。
- \(CMA_t\)：低投资 − 高投资 的多空组合回报。
- \(\alpha_i\)：在控制了各因素后，资产 \(i\) 的平均额外收益。
- \(\beta_{i,\cdot}\)：资产对相应因素的斜率/敏感度（“该因素变动 \(1\%\)，该资产平均变化多少”）。
- \(\varepsilon_{i,t}\)：特异性误差项。
31.1.7 与现实投资的联系
- 基金与产品评估：拆分一只基金的历史超额收益，判断其来源更接近“大盘/风格”的顺风，还是策略本身（\(\alpha\)）。
- 风格监测与风险预算：跟踪组合在“规模、价值、盈利、投资”等维度的斜率，控制不希望集中的风格暴露。
- 产品设计与绩效沟通：将目标敞口写入投资说明（例如“长期保持小盘与价值偏好”），并用因子回归按季披露是否达成。
- 再平衡：当某一风格暴露偏离目标带宽时，通过调仓或对冲 ETF/期货因子篮子进行修正。